Cách tạo ra loại số mới

Tác giả: Lê Vũ Minh Trí, Nguyễn Duy Anh

Với những ai đã phải ôn thi Toán vào 10 hoặc đã biết về căn thức, hẳn một điều mà những giáo viên đã nhấn mạnh hết lần này đến lần khác là tìm điều kiện xác định của căn thức: biểu thức trong căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. 

Học cao lên thì ta được giới thiệu về số phức và đơn vị ảo i, một “số” (?!) bình phương lên ra -1. Có thể một số người đã từng đặt câu hỏi “tại sao người ta lại nêu một quy tắc rồi phá bỏ nó? Cứ tạo bừa ra một thứ … ảo như thế mà được à?”. Bài viết sau đây là để cho thấy bạn cũng có thể làm tương tự, miễn là cái bạn tạo ra ổn áp về logic. Trước tiên là về cách số phức được “tạo ra”.

Đôi lúc, nghiệm biểu diễn bằng căn thức của phương trình bậc ba tổng quát (mà không chứa các biểu thức lượng giác), có bao gồm căn bậc hai của một số âm. Tình huống này không thể khắc phục bằng cách phân tích thành nhân tử, trong trường hợp đa thức bậc ba này bất khả quy (tức là không phân tích thành nhân tử được). 

Từ tình huống hóc búa này, Gerolamo Cardano đã có những ý tưởng rấtsơ khai về số phức vào khoảng năm 1545 trong quyển sách “Ars Magna” của ông, cho rằng chúng “mờ nhạt cũng như vô dụng”. Về sau, nhiều nhà toán học đã đóng góp vào sự phát triển của số phức. Nhà toán học Ý Rafael Bombelli đã chỉ ra chi tiết các nghịch lý liên quan tới số phức và cố gắng thiết lập những quy tắc cộng trừ nhân chia và khai căn chúng. Sau này, William Rowan Hamilton người Ireland đã đào sâu hơn và đưa ra một hình thức hóa trừu tượng hơn cho đối tượng này, đồng thời khái quát lên cả lý thuyết về quaternion.

Số phức lần đầu xuất hiện thoáng qua có lẽ là trong công trình Stereometrica của nhà toán học Heron xứ Alexandria, người Hy Lạp TK I SCN. Trong đó, ông đi tính thể tích của một hình chóp cụt mà thực ra không thể tồn tại, và đi đến giá trị √(81-144), khả năng cao là do nhầm lẫn nào đó. 

Vào thế kỉ 16, nhu cầu thu gọn nghiệm của các phương trình bậc 3 và 4 đã thúc đẩy sự phát triển trong việc nghiên cứu số phức. Người ta sớm nhận ra rằng kể cả khi chỉ quan tâm đến nghiệm thực, ta vẫn phải biến đổi với các căn bậc 2 của số âm 

Chẳng hạn như với phương trình x³ = x, nghiệm của nó theo công thức nghiệm phương trình bậc 3 (của Tartaglia) là:

((√-1)^(⅓)  + (√-1)^(-⅓)) /√3

Biểu thức này, với người không quen với số phức, trông cực kỳ phi lý khi mới nhìn qua, nhưng dựa vào quy tắc khai căn bậc 3 ta thấy phương trình z^3 = i có 3 nghiệm: -i, (i + √3)/2, (i – √3)/2 

Thay từng giá trị này của (√ -1)^(⅓) vào công thức nghiệm của Tartaglia và rút gọn, ta nhận được các nghiệm 0, 1, và -1. 

Ví dụ này tuy có thể giải được khá đơn giản bằng phân tích thành nhân tử, nhưng nó là bằng chứng cho thấy kể cả việc giải những phương trình toàn nghiệm thực cũng phải liên quan tới số phức. 

Từ “ảo” gắn với số phức (đôi lúc vẫn bị gọi là số ảo) là do René Descarte sử dụng năm 1637 nhằm nhấn mạnh bản chất ảo ma, hư cấu của chúng

“…đôi lúc chỉ là tưởng tượng, nghĩa là người ta có thể tưởng tượng ra nhiều (nghiệm) tùy ý trong mỗi phương trình, nhưng đôi lúc lại không có đại lượng nào giống với thứ ta tưởng tượng ra.”

Thậm chí một nhà toán học vĩ đại khác, Euler, cũng bối rối trước một đẳng thức số phức dường như vi phạm một đẳng thức toán học cơ bản √a√b = √ab là:

  (√-1)² = √-1√-1 = 1

Có lẽ đây là nguyên nhân người ta dần sử dụng ký hiệu i để tránh nhầm lẫn tương tự như trên.

Số phức ngày càng được sử dụng rộng rãi kể từ thế kỷ 18, khi người ta phát hiện ra rằng các công thức lượng giác có thể được dùng để đơn giản hoá một số biểu thức số phức, chẳng hạn như công thức của Abraham de Moivre cho lũy thừa số phức:

(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ

Hay công thức Euler của Giải tích phức, ra đời năm 1748:

cos θ + i sin θ = e^(iθ)

cùng hệ quả nổi tiếng được mệnh danh “phương trình của chúa” trong toán học:

e^(i.π)+1=0

Một ý tưởng quan trọng mà sẽ liên kết với hai công thức vừa nêu trên chính là sự biểu diễn số phức như một điểm trên mặt phẳng phức (mặt phẳng Oxy với trục hoành và trục tung để biểu thị phần thực và phần ảo của nó), được nhà toán học Đan Mạch – Na Uy Caspar Wessel mô tả năm 1799, mặc dù những dấu tích đầu tiên của cách hình học hóa này đã có ít nhất từ năm 1685 trong “Luận án về Đại số” của Wallis (người cũng đã đưa ra đường thẳng thực). 

Chính Gauss cũng cngờ vực về “Bản chất siêu hình của căn bậc 2 của -1”, khiến cho ông do dự đến tận 1831 mới xuất bản luận án về số phức như những điểm trên mặt phẳng kia. Công trình này đã thiết lập phần lớn các ký hiệu và khái niệm ta dùng hiện tại.

Augustin-Louis Cauchy và Bernhard Riemann đã cùng nhau nâng tầm những ý tưởng cơ bản của Giải tích có sử dụng số phức khoảng từ những năm 1825.

Trong đó có 1 giả thuyết còn gây đau đầu cho hậu thế là Giả thuyết Riemann – 1 trong 7 bài toán Thiên nhiên kỷ của viện toán Clay.

Đây có thể là một trong những chủ đề chúng tôi sẽ đào sâu hơn trong tương lai.

________________________

Quay trở lại với Hamilton, dựa vào ý tưởng về việc phát triển số phức từ bài toán giải phương trình, ông đã tổng quát hóa lên khái niệm quaternion. Hãy cùng thử đi qua quá trình suy nghĩ của nhà toán học này, và thử phát minh ra một loại toán học.

Một điều mà các nhà toán học tâm niệm khi phát triển những định nghĩa mới từ cái có sẵn là phải bảo toàn một số tính chất nhất định của cái đã có đó. Chẳng hạn như phép cộng của hai số tự nhiên có tính giao hoán, thì khi mở rộng lên phép cộng số hữu tỉ (bao gồm số tự nhiên), thì vẫn phải định nghĩa sao cho vẫn có tính chất giao hoán. 

Ngày nay, người ta nói một số phức ở dạng đại số được biểu diễn là a +bi, với a, b là các số thực. Cho b ≠ 0 thì ta thấy số thực cũng là số phức, do đó định nghĩa phép cộng và nhân số phức vẫn phải tuân thủ các tính chất sẵn có. May thay là chỉ bằng việc áp dụng tính chất phân phối x(y+z) = xy + xz và (y+z)x = yx + zx, ta có được một định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức vẫn bảo toàn các tính chất của hai phép này với các số thực. Đó là

 (a + bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Hamilton đã phát triển một cách hơi khác: thay vì biểu diễn ở dạng đại số, ông định nghĩa số phức là một cặp số thực (a, b), chưa trực tiếp nhắc đến đơn vị ảo i ở đây. Số phức theo định nghĩa của ông sẽ có phép cộng và nhân được định nghĩa như sau:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(a, b).(c, d) = (ac-bd, ad + bc)

cùng với đó là phép trừ và phép chia như là hai trường hợp đặc biệt của phép cộng và nhân. i lúc này sẽ là ký hiệu cho số phức (0, 1). Lợi thế ở đây là ta sẽ không trực tiếp nhắc đến đơn vị ảo, và như thế sẽ tránh được một số rắc rối. 

Hamilton đã nghĩ về việc đi xa hơn với kiểu số này: nếu như không chỉ có 1 mà có tới 2 đơn vị ảo thì sao. Vì thế ông xét đến những bộ 3 số thực (a, b, c), dạng đại số là a +bi + cj, với i, j thỏa mãn và i² = j² = -1. Những số loại mới này lại bao hàm cả các số phức, nên phép cộng và nhân lại phải được định nghĩa sao cho chúng là tổng quát hóa từ số phức lên. Định nghĩa phép cộng khá dễ dàng, cụ thể là:

(a +bi + cj) + a’ +b’i+c’j) = (a+a’) + (b+b’)i + (c+c’)j

Sang đến phép nhân thì không có chuyện ngon ăn như với số phức đâu, Hamilton cũng đã phải đau đầu đấy. Dường như không có cách nào tốt để có thể định nghĩa được phép nhân cho ổn thỏa:

Trước tiên ta cần xét đến khái niệm mô-đun của số phức: mô-đun của số phức a + bi là số thực dương √(a² +b²), khi b = 0 thì đây lại chính là giá trị tuyệt đối của số thực a+bi, do đó mô-đun có cùng ký hiệu với giá trị tuyệt đối. Về mặt hình học thì đây là khoảng cách từ điểm (a, b) tới gốc tọa độ trong mặt phẳng phức. Tổng quát lên với loại số mới này thì mô-đun của a +bi + cj sẽ, không khó hiểu, được định nghĩa là a² + b² + c². Với định nghĩa phép nhân như trên, không khó để chỉ ra tính chất: tích của mô-đun hai số phức bằng mô-đun của tích hai số đó, ký hiệu là |z|.|z’| = |zz’| với z, z’ là các số phức

Do đó, ta sẽ muốn bảo toàn tính chất này với loại số vừa được chế ra. Đơn giản nhất là trường hợp |(a+bi+cj)²| = |a+bi+cj|² cần phải đúng

Để ý: |a+bi+cj|² = a² + b² + c²

và:

(a+bi+cj)² = a² – b² – c² + 2abi + 2acj + 2 bcij

và nếu ij khác i, j, và không phải số thực thì

|(a+bi+cj)²| =(a²-b²-c²)² + (2ab)² + (2ac)² + (2bc)² = (a²+b²+c²)² + (2bc)²

không thỏa mãn trường hợp ta vừa liệt ra ở trên. Tức là ij  = 0, hoặc ij = di hay dj, với d là số thực nào đó. Tuy nhiên nếu chia bỏ cho i hoặc j thì lại rút ra i hoặc j thực, khả năng thứ hai vì thế không thể. Mà ij = 0 lại nghe hơi sai với Hamilton. 

Thế nhưng khi kiểm tra kỹ lại, Hamilton nhận ra rằng khi nhân bung ra không phải chỉ có hạng tử ij, mà hạng tử ta gom được thật ra là bc(ij + ji). Do đó ông mạnh dạn đặt ij = -ji = k = 0, từ ấy giải quyết trường hợp ta đề ra từ đầu.

Bước tiếp theo tất nhiên là phải kiểm chứng tính chất này với hai số kiểu mới bất kì, tức là cần:

|(a +bi + cj)(x + yi + zj)| = |a +bi + cj| . |x + yi + zj|

Bình phương của vế phải là (a²+b²+c²)(x²+y²+z²), còn biểu thức trong dấu mô-đun ở vế trái thì là:

(a +bi + cj)(x + yi + zj) = (ax-by-cz) + i.(ay+bx) + j.(az +cx) + k(bz-cy) 

do k = 0 nên bình phương mô-đun của vế trái là (ax-by-cz)² + (ay+bx)² + (az +cx)² = (a²+b²+c²)(x²+y²+z²) – (bz-cy)², vẫn cứ khác với kết quả của vế phải. 

Khó thật! Nếu bạn đã đọc đến đây thì chúc mừng, bạn đã biết được rằng việc tạo ra một thứ toán mới là thử thách thế nào. Đến cả một thần đồng và nhà toán học thâm niên như Hamilton còn vướng mắc cái khúc này trong suốt 10 năm thì các bạn hiểu rồi đấy. Mỗi sáng xuống bếp ăn vào mỗi ngày trong suốt thập kỷ ấy, ông luôn nhận được câu hỏi đau đáu của đứa con trai cả: “Bố ơi bố nhân được bộ ba số chưa?”, và chỉ biết thở dài “Chưa, ta mới cộng trừ được với chúng thôi.” (cay thế nhờ)

Ý tưởng đột phá ở đây là: thay vì cho k = ij = – ji về 0, ta lấy nó làm đơn vị ảo thứ ba luôn, và để cho có tính đối xứng thì ba hạng tử i, j, k ta thêm vào sẽ thỏa mãn:

i² = j²=k²=ijk=-1

hoặc nếu bạn thích cái gì đó chặt chẽ hơn:

k² = -ji.ij = -j(i.i)j = -j.(-1).j = j² = -1

và do đó ijk = k.k = -1

Để nhân được hai số dạng này, thứ mà ông gọi là quaternion (fourfold number), ông vẫn cần các giá trị ki, ik, kj, jk. Khi có tính kết hợp thì có thể suy ra:

ki = -ji.i = -j.i² = j, tương tự với các giá trị kia

Nhưng Hamilton thích văn vẻ để rút ra điều này hơn

“… từ đó tôi nghĩ khá chắc sẽ có ki = j, jk = i, vì từ ij = -ji, trông khá khả thi để luận ra rằng kj = i.j.j = −i.”

Tóm gọn lại những gì ta đã biết về ba đơn vị ảo này, được Hamilton gọi là các “giả định” về phép nhân, ta có:

i² =  j²= k² = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j

Ông đã trang trí của công (lấy dao nhíp khắc lên cầu Royal Canal tại Dublin, năm 1843) bằng những công thức này để đảm bảo ưu tiên về phát hiện sớm nhất trước khi ông kịp xuất bản. Nhìn lại quá trình vừa rồi, có một sự thật như sau: nhìn chung thì q.q’ ≠ q’.q, với q, q’ là các quaternion, trong khi các tính chất còn lại của phép nhân quaternion thì giống với phép nhân ta quen biết.

Nếu các bạn hiếu kỳ và nghĩ như một số nhà toán học, việc chế ra những tập số với phép cộng và nhân mà mất đi nhiều tính chất quen biết hơn nữa là hoàn toàn khả thi. Đơn cử như chỉ vài tháng sau khi Hamilton công bố phát hiện, John Graves đã công bố ngay loại số gọi là “octonion” với tận 8 đơn vị ảo. Nhân các số này không những không giao hoán mà thậm chí còn mất cả tính kết hợp, tức là a(bc) = (ab)c.

Đáng tiếc cho Hamilton là trái với niềm tin của ông, quaternion không tìm tới được quá nhiều ứng dụng thực tiễn. Giải tích vector của Josiah Willard Gibbs (1839–1925), với hai khái niệm tích vô hướng và tích có hướng, tỏ ra hữu dụng hơn và dần thay thế thành quả này của nhà toán học người Ireland. 

Đó, số phức là như vậy đấy, nó xuất phát từ nhu cầu thực tế (của các nhà toán học). Vậy nên là nếu độc giả muốn tạo ra một chút Toán của mình, hi vọng trên đây là một ví dụ hữu ích. Nếu có ý tưởng, hãy nhớ rằng bạn không phải người điên nhất trên quả đất này, và nhà toán học nào đó đã từng làm điều này rồi. Hãy cầu trời đó là lời khẳng định tâm thần bạn còn bình thường đi.