Lý thuyết nút thắt (Knot theory)

Tác giả: Nguyễn Đức Minh Tâm

        Chủ đề ngày hôm nay của chúng ta sẽ là nút thắt, một ý tưởng được truyền cảm hứng từ câu nói của họa sĩ Windy Chien: “Knots are artefacts of human ingenuity” (Nút thắt là những đồ tạo tác từ sự khéo léo của nhân loại) (Tức là những cổ vật lưu truyền sự khéo léo của con người qua các thế hệ).

        Nút thắt hay sự liên kết của chúng đã tồn tại từ lâu ngay trong những đồ dụng cụ hay vật trang trí.

Chúng xuất hiện trong cuộc sống của những người dân chài và cả với những phiên chợ bán lưới đánh cá, hay kể cả khi ta thắt dây giày hoặc buộc tóc. Chúng thực sự rất đa dạng và Toán học đã giúp chúng ta phân loại cùng thời sắp xếp sự đa dạng ấy, bằng cách truyền nhau câu hỏi điều gì đã định nên hình dạng của chúng. Với một mối liên kết đặc biệt, Toán học đã giúp định hình nên một tính chất nghệ thuật mới cùng Lý thuyết nút thắt.

        Về phương diện của Toán học, lý thuyết nút thắt là một lý thuyết trong lĩnh vực tôpô học nghiên cứu.

        Việc nghiên cứu lý thuyết nút thắt được truyền cảm hứng từ những nút thắt trong cuộc sống hàng ngày như nút dây giày, nút thắt dây thừng, nút nơ,…

Nói qua một chút về định nghĩa của nút thắt thì chúng ta có thể hiểu đơn giản một nút thắt là một đường cong khép kín, nhưng không có giao điểm nào trong không gian ba chiều. Ví dụ như một trong những dạng cơ bản nhất của nút thắt là nút thắt ba chùy (trefoil knot).

Và hai nút thắt sẽ được gọi là bằng nhau khi mà chúng có thể biến đổi qua lại lẫn nhau (các phép biến đổi này là hợp lệ nếu nó chỉ biến đổi cấu hình của vòng mà không làm cắt hay gắn lại vòng). Điều này được coi là thú vị vì với một hình có trước, cơ bản là ta có thể có vô số nút thắt bằng nhau của nó, những cái này ta gọi là đồng vị xung quanh (ambient isotopy).

Ở hình bên tay trái, hiển nhiên ta có thể dễ dàng thấy hai nút thắt đó là bằng nhau trong khi ở hình bên tay phải mặc dù nó phức tạp hơn nhiều nhưng lại cũng là bằng nhau với vòng không bị thắt.

Câu chuyện ngắn về lịch sử của Lý thuyết nút thắt

        Chúng ta sẽ nói qua một chút về sự hình thành của lý thuyết thú vị này, đầu tiên thì lý thuyết Toán học về nút được ra đời vào năm 1771 trong một bài báo của nhà Toán học Pháp Vandermonde. Ông được coi là người đầu tiên nhận ra rằng các nút có thể được nghiên cứu như là môn hình học của vị trí, tức là không quan tâm đến kích thước và việc tính toán các đại lượng. Tiếp đó, Gauss là người đã có một số khảo sát phân tích về tính chất của các nút. Mặc dù được cho là lấy cảm hứng từ thực tế, nhưng lý thuyết nút thắt lại là một lý thuyết thụ động, vì chưa có ai dự tính ứng dụng nó vào đâu cả. Nhưng câu chuyện dần trở nên khác đi khi nhà vật lý người Anh Thomson phỏng đoán rằng các nguyên tử là các ống ê-tê bị thắt nút. Ông lý luận rằng sự đa dạng của các cách thắt nút sẽ tạo ra sự đa dạng của nguyên tử. Thomson bắt tay vào phân loại các nút, tương tự như làm với bảng tuần hoàn hóa học. Với sự nổi tiếng của mình, Thomson đã làm bùng lên sự quan tâm nghiêm túc về Toán học của các nút. Đến đây việc nghiên cứu Lý thuyết nút thắt đã trở lại với vai chủ động. Nhưng chúng ta cũng có thể dễ thấy đấy, việc các nguyên tử như nút thắt xem chừng lại khá vô lý và thực tế thì lý thuyết nguyên tử của Thomson đã chính thức bị bác bỏ.

        Mặc dù vậy thì trong khoảng thời gian nghiên cứu, trên thế giới cũng có ghi lại một vài thành tựu. Tiêu biểu như của nhà Toán học Peter Tait (1831-1901) là người có thành công sớm nhất trong việc phân loại các loại nút. Ông đã lập danh mục những đường cong có 1, 2 hay thậm chí là nhiều hơn chỗ bắt chéo. Đây là nhiệm vụ không tầm thường, vì rất khó để phân biệt hai nút khác nhau, trong khi ví dụ một đường cong có 10 chỗ bắt chéo có đến 1024 nút phải xem xét!

Nghệ thuật đến từ nút thắt

        Để mà nói thì hiện tại, nhiều người nghĩ rằng sẽ có rất ít hoặc là không còn ai nghiên cứu về lý thuyết nút thắt nữa, bởi không còn mô hình Vật lý nào để áp dụng. Nhưng các nhà Toán học vẫn âm thầm quan tâm đến Lý thuyết về các nút. Điều gì là đặc trưng của các nút? Hay nói cách khác có tiêu chuẩn nào để phân biệt các nút khác nhau hay không? Nếu bạn chưa ấn tượng với sự nỗ lực miệt mài có phần “điên rồ” của các nhà Toán học và sự khó khăn của việc phân loại các nút thì ta có thể chuyển sang Nghệ thuật một chút nhỉ.

        Từ việc nghiên cứu các đồng vị và hình dạng của nút thắt thì con người cũng nhận ra trong đó những hình thù bắt mắt, tạo nên những nút thắt mang tính chất nghệ thuật hơn, áp dụng cả vào trang trí hay làm đẹp…

Có thể nói rằng số nút thắt tồn tại là vô hạn và trong chúng, mỗi nút dây lại có những tính chất riêng biệt và thích hợp cho một phạm vi công dụng nào đó. Dây và nút là một phần không thể thiếu trong cuộc sống con người, được đúc kết qua quá trình học hỏi và rút kinh nghiệm của con người nhằm tạo ra những nút dây hoàn hảo về mặt hình ảnh, ứng dụng tốt trong nhiều tình huống.