Origami: cách những con số cách mạng hóa một loại hình nghệ thuật

Dịch giả: Nguyễn Duy Anh

Từ khi phát minh ra giấy, con người đã tìm tòi các cách khác nhau để gấp giấy thành những tác phẩm nghệ thuật đẹp mắt. Origami là một hình thức nghệ thuật dễ tiếp cận đến nỗi trẻ con cũng có thể cầm một tờ giấy hình vuông và gấp một hai con hạc, nhưng các nghệ sĩ vẫn đang có những khám phá mới trong loại hình nghệ thuật này ngày nay. Họ đã làm nhiều thứ đến nỗi họ đi từ thứ này

thành cái này

Nếu bạn đã từng gấp theo hướng dẫn trong một quyển sách origami, có lẽ bạn sẽ như tôi và tự hỏi: “Sao mà họ tạo ra được mấy thiết kế này vậy?”

Câu trả lời rất đơn giản. Bằng toán.

Tổng quan và lịch sử

Từ “origami” đơn giản là hai từ tiếng Nhật mang nghĩa “gấp” (ori) và “giấy” (gami) ghép lại với nhau, tạo thành một từ để mô tả nghề thủ công – hay đôi khi, nghệ thuật – của gấp giấy trang trí. Đúng như từ nguyên của từ “origami”, đây là bộ môn biến đổi các mảnh giấy thành các hình dạng nhất định chủ yếu bằng cách gấp. Thông thường, những thiết kế khởi đầu với những tờ giấy vuông với các mặt có màu sắc, in ấn hay họa tiết khác nhau. Những nghệ nhân origami hiện đại nói chung không khuyến khích việc sử dụng các vết cắt, keo dán, hay đánh dấu lên tờ giấy. Người gấp Origami thường dùng thuật ngữ kirigami để nói đến những thiết kế cần cắt ở một số chi tiết.

Như đã nói từ trước, gấp giấy xuất hiện ở mọi văn hóa có giấy, cụ thể là Nhật Bản, Châu Âu, và Trung Quốc, nơi mà có lẽ người dân địa phương đã tự phát triển nghề thủ công này độc lập với các nền văn hóa khác cho tới thế kì 20. Ban đầu, khi những nhà sư Phật giáo mang giấy đến Nhật Bản vào thế kỉ 6, giấy vẫn là một mặt hàng quý giá, nên các tác phẩm origami chỉ được trưng bày vào các dịp đặc biệt, và những thiết kế thì đơn giản và được cách điệu, thường mô tả động vật, người mặc trang phục, và những vật trong lễ nghi. Những thiết kế này được truyền từ mẹ sang con gái. Những thiết kế phức tạp hơn có lẽ đã mất dần theo thời gian, tuy nhiên những cái đơn giản còn sót lại vẫn mang một vẻ đẹp trường tồn. Khi càng ngày giấy càng dễ kiếm, origami bắt đầu phân nhánh từ nguồn gốc “origata” (origami cho các dịp lễ) của nó và dấu hiệu của origami như một sở thích bắt đầu xuất hiện vào cuối thế kỉ 16. Trái với niềm tin của nhiều người, origami truyền thống thường ít khắt khe hơn về những quy chuẩn (thứ mà khả năng cao là từ phương Tây), sử dụng việc cắt giấy thường xuyên hơn.

Đến thế kỉ 20, một vài nghệ sĩ như Kosho Uchiyama và Akira Yoshizawa, đại sư origami, bắt đầu làm ra những thiết kế nguyên bản. Đặc biệt Yoshizawa được ca ngợi là người đã đưa origami từ một nghề thủ công thành một nghệ thuật sống, với ít nhất 50000 thiết kế theo chính ước tính của ông, cũng như giới thiệu những kĩ thuật gấp mới như gấp ướt – dùng nước làm ẩm giấy để khiến thành phẩm tròn trịa và có dáng giống được điêu khắc hơn. Một đổi mới thiên tài khác của ông là hệ thống ký hiệu Yoshiwara-Randlett để minh họa các bước gấp. Hệ thống ký hiệu này, sau những thay đổi nhỏ bởi các tác giả phương Tây, đã chuẩn hóa cách hướng dẫn origami được viết trong sách ngày nay.

Hãy chậm lại và thử nghĩ về hướng mà loại hình nghệ thuật này sẽ phát triển từ đây trở về sau. Chuyện gì đã xảy ra vào thế kỉ 20? Sự liên kết ngày càng tăng giữa các nước, sự bùng nổ công nghệ, sự phát triển nhanh chóng mặt của máy tính, và còn nhiều nữa. Người phương Tây hiển nhiên sẽ kéo đến loại hình nghệ thuật này, nhưng họ sẽ làm gì với nó? Liệu một nghệ sĩ, dù có tài năng đến đâu đi nữa, có thể nặn ra những thiết kế nếu họ không có một phương pháp gì và cứ thử sai với hết tờ này đến tờ khác một đến khi tất cả rách toạc vì quá nhiều nếp gấp?

Như mọi loại hình nghệ thuật khác, có những quy luật, mô típ, và nguyên lý đằng sau origami. Và như mọi vấn đề của thế giới thực mà ai đó muốn tìm hiểu sâu hơn, Toán có thể giúp họ. 

Thập niên 60 của thế kỉ 20 chứng kiến sự xôn xao những hoạt động trong thế giới gấp giấy của phương Tây, với sự thành lập của hai hiệp hội origami: Friends of the Origami Center of America và British Origami Society. Cả hai tổ chức đếu chào đón thành viên trên toàn thế giới. Giờ đây, ngoài những mẫu origami phẳng, 2 chiều thông thường, còn có sự tham gia của origami mô-đun, một loại hình trong đó nghệ sĩ dùng các đơn vị giống nhau lắp ráp lại tạo nên những hình 3D đa diện. Pureland Origami được tạo ra từ những năm 70 để hỗ trợ quá trình học tập của những người mới bị giới hạn khả năng vận động, do quy định cơ bản của nó là một mẫu thiết kế chỉ sử dụng gập lõm (valley fold) và gập lồi (mountain fold). Không những giới hạn này không bó buộc nghệ sĩ, nó còn giúp họ tạo ra những mẫu gấp với vẻ đẹp thanh tao tối giản. Đầu những năm 2000, một sự hòa quyện hai lĩnh vực khác nhau đang manh nha: origami tessellation. Trong đó, nghệ nhân xếp nếp để kết nối các phần tử như là các nếp gấp xoáy với nhau và tạo ra hoạt tiết lặp lại. Chris Palmer là một nghệ sĩ khám phá sâu rộng về tessellation sau khi thấy các họa tiết Zilij tại điện Alhambra, và tìm ra nhiều cách tạo ra origami tessellation từ lụa.Robert Lang và Alex Bateman đã sử dụng những chương trình máy tính để tạo ra các mẫu origami tessellation. Nhờ vào khía cạnh tính toán và các trao đổi qua mạng xã hội, nơi để giới thiệu các kỹ thuật và thiết kế mới, đã nâng tầm độ nổi của origami trong thế kỷ 21.

Quá trình sáng tạo

Khi ta gập, các vết lưu lại trên tờ giấy sau đó được gọi là nếp gấp. Họa tiết tổng thể ta nhận được sau khi gập ngược từ mẫu hoàn thành về tờ giấy ban đầu được gọi là sơ đồ nếp gấp (crease pattern). Nói chung, có 3 bước chính trong quá trình gấp một mẫu origami: tờ giấy ta sử dụng ban đầu, hình cơ bản (base) – mẫu gấp trong đó số lượng và vị trí tương đối của các nhánh (flap) đã được định hình, và thành phẩm. Trong đó, quan trọng nhất là: hình cơ bản luôn là bước trung gian. Hình cơ bản là nền móng của mọi mẫu origami. Vì thế, bước tối quan trọng là chọn được hình cơ bản có đúng số nhánh bạn cần. Chỉ có vài hình cơ bản truyền thống và số ít biến thể có ích:

Tùy vào mẫu và hình dáng chi tiết mong muốn, ta sẽ cần tới những kỹ thuật gấp khác nhau, một số thậm chí là độc nhất với một mẫu (đủ phức tạp). Ảnh dưới đây gồm những kỹ thuật nên biết khi thử origami:

Do hình cơ bản là phần thiết yếu và các chi tiết có thể được xử lý sau, nhiệm vụ quan trọng nhất mỗi khi ta cần gập một mẫu origami là có được một hình cơ bản phù hợp. Chắc hẳn lúc này bạn đã nhận ra rằng chỉ mỗi các hình cơ bản truyền thống là không đủ, và ngồi nghịch giấy có thể chỉ là dò dẫm trong tối. Ta cần một phương pháp hiệu quả.

Hãy cùng nhìn nhận một mẫu origami dưới con mắt khoa học và toán học hơn. Như đã nói, khi bạn hoàn tác một mẫu gấp về bước đầu, bạn được một sơ đồ nếp gấp. Ngược lại, từ sơ đồ nếp gấp, ta có thể rút ra vị trí và loại (lồi hoặc lõm) của các nếp gấp, và người chưa biết gì về mẫu đó có thể dùng sơ đồ và gấp ra hình cơ bản, hoàn thành bước trung gian quan trọng nhất. Biết vậy, nhưng nghệ sĩ phải làm sao để có được sơ đồ nếp gấp cho hình cơ bản đây?

Một trong những ngọn cờ đầu của origami hiện đại dựa vào toán học, người chắc chắn chẳng ngại gì việc ứng dụng công nghệ vào nghệ thuật, là Robert J. Lang, nhà toán học kiêm nghệ sĩ origami người Mỹ. Vào năm 1989, ông có một bài báo cho tạp chí Engineering & Science, trong đó ông đặt câu hỏi liệu rằng một mẫu origami ăn đứt những mẫu con người tạo ra hay không. Ông hứng thú đến mức ngay năm sau đã bắt đầu viết một chương trình làm công tác đó.

Chỉ sau vài tháng, ông cho ra lò phiên bản đầu tiên của một phần mềm gọi là TreeMaker (do những hình khởi điểm của ông trông giống cái cây). Phần mềm này sử dụng phương pháp gọi là xếp đường tròn (circle packing), sẽ được tả chi tiết dưới đây.

Khi muốn tạo mẫu một thứ gì đó bằng gấp giấy, trước hết ta chọn những chi chính và các chi tiết ta cần có trên mẫu. Sau đó vẽ khung của nó chỉ bằng các đỉnh và đoạn thẳng, cho ra một hình phong cách người que, sao cho tỉ lệ độ dài các đoạn tỉ lệ thuận với kích cỡ nhánh. Sau đây là ví dụ từ chính Lang (từ đây)trong quá trình ông tạo mẫu bọ cạp của ông:

Tiếp đến ta biến hình que đó thành những hình đại diện cho vùng giấy chiếm bởi từng nhánh. Những hình này là các vùng sáng và tối màu trong hình vẽ ỏ dưới. Những nhánh lỏng ở một đầu, như chân hay kìm, được biểu diễn bởi hình tròn có bán kính bằng độ dài nhánh. Nhánh nào gắn với các nhánh khác ở cả hai đầu, như là phần thân hoặc khúc nối kìm với thân, được biểu diễn bởi các đường cong độ rộng cố định gọi là “sông” (màu tối), dài bằng độ dài nhánh tương ứng. Mỗi hình biểu diễn – hình tròn hay sông – biểu diễn cho lượng giấy tối thiểu cho mỗi nhánh. Hay ở chỗ là với mọi cách sắp xếp hợp lý hình tròn và sông, sẽ có một sơ đồ nếp gấp cho đúng cách xếp đó.

Và thế là ta phải tìm các xếp hình tròn và sông khít nhất có thể vào hình vuông. Các quy tắc chính cho thao tác này là:

• các hình tròn và sông phải to nhất có thể và giữ cho tỉ lệ tương đối giữa chúng không đổi

• chúng không đè lên nhau

 • không nhất thiết cả hình tròn, nhưng mọi tâm hình tròn phải nằm trong tờ giấy

• những điểm giao giữa những hình tròn và sông phải khớp với những điểm giao trong hình vẽ dạng người que của mẫu gấp

Thông thường, Treemaker có thể nhanh chóng tìm ra cách xếp tối ưu và thực hiện thêm bước tiếp theo: luận ra sơ đồ nếp gấp để có được hình cơ bản phù hợp. Chương trình sẽ trả ra kết quả chỉ sau một tích tắc, vì bài toán đó chỉ có độ khó đa thức. Rồi ta gập và cụ thể hóa từng chi tiết thôi.

Điều này không có nghĩa là thuận buồm xuôi gió hoàn toán từ đây. Thuật toán không thể kiểm soát hoàn toàn độ rộng từng nhánh, mặt cắt, hay là cách xếp các lớp. Thế nhưng sự trợ giúp rất giòn này là quá đủ với một nghệ sĩ chắc tay, và các bước còn lại, theo Lang, nhìn chung là dễ.

Tuy nhiên quan hệ giữa bộ môn nghệ thuật cổ và Toán không chỉ là một chiều: Origami toán học và tính toán đang là hai ngành thu hút nhiều sự chú ý. Nhờ vào nỗ lực không ngừng của giới Toán học, ta đã biết những điều kiện cần và đủ cho một mẫu gấp phẳng (nôm na là có thể gập vào giữa hai trang sách và vẫn nguyên vẹn)

1. Định lý Maekawa: tại mọi đỉnh, số gập lõm và lồi chênh nhau đúng 2. Hệ quả là có chẵn nếp gấp đi qua một đỉnh bất kỳ
2. Định lý Kawasaki-Justin: tại mọi đỉnh, các góc ở vị trí lẻ khi quay vòng quanh đỉnh có tổng là 180 độ, các góc ở vị trí chẵn cũng thế
3. Một phần giấy không được đâm qua một nếp gấp

Bài toán kiểm tra một mẫu gấp có phải mẫu gấp phẳng hay không, và nêu cách gấp nếu có là một bài toán NP-hoàn thiện.

Nhìn qua ta thấy ngay mối liên hệ rõ ràng giữa Origami và hình học phẳng thông thường. Thế nên một số bài toán hình học cổ điển đã được nghiên cứu dưới con mắt của origami, nổi tiếng nhất hẳn là Ba bài toán dựng hình cổ đại. Hai trong số đó (gấp đôi khối lập phương và tam phân góc) được chứng minh là gấp được nếu ta chấp nhận bộ tiên đề Huzita-Justin mà người ta đã công nhận rộng rãi là origami cho phép:

1. Cho hai điểm phân biệt p₁ và p₂, có đúng một nếp gấp đi qua cả hai
2. Cho hai điểm phân biệt p₁ và p₂, có đúng một nếp gấp cho p₁ trùng lên p₂.
3. Cho hai đường thẳng l₁ và l₂, có một nếp gấp để l₁ trùng lên l₂.
4. Cho điểm p₁ và đường thẳng l₁, có đúng một nếp gấp vuông góc l₁ và đi qua p₁.
5. Cho hai điểm p₁ và p₂ cùng với đường thẳng l₁, có một nếp gấp để p₁ nằm trên l₁ và đi qua p₂.
6. Cho hai điểm p₁ p₂ và hai đường thẳng l₁ l₂, có một nếp gấp để p₁ nằm trên l₁ và p₂ nằm trên l₂.
7. Cho một điểm p và hai đường thẳng l₁ and l₂, có một nếp gấp để p nằm trên l₁ và vuông góc với l₂.

Ngoài ra, nếu ta biến mỗi vùng bao quanh bởi các nếp gấp trong sơ đồ nếp gấp thành đỉnh và các nếp gấp giữa hai vùng thành các cạnh, ta có thể nghiên cứu các sơ đồ này như một đối tượng tron lý thuyết đồ thị. Ngòa tiềm năng cho nghiên cứu, những khía cạnh này của origami có thể tạo nên những giờ Toán thú vị trong các phân môn từ hình học tới tổ hợp và thậm chí là cả tô pô.