Lịch sử số âm: Chối bỏ đến chấp nhận

Tác giả: Lê Vũ Minh Trí, Nguyễn Duy Anh

‘Chúng khiến toàn bộ học thuyết về các phương trình và những thứ vốn có bản chất quá ư hiển nhiên và đơn giản trở nên tối nghĩa vô cùng.”

“Sao có thể có chuyện đại lượng bé chia đại lượng lớn bằng được đại lượng lớn chia đại lượng bé???”

“Nó không thỏa đáng, người ta không chấp nhận nó”

Những lập luận gay gắt này chính là để chống lại sự sử dụng một đối tượng toán học rất lâu đời mà đã trở nên khá quen thuộc ngày nay: số âm. Vậy điều gì đã khiến các nhà toán học dần dần thay đổi quan niệm này, để số âm trở thành một phần tất yếu của sách giáo khoa Toán như ngày nay? Chúng ta cùng tìm hiểu trong bài viết này nhé!

Các nhà toán học của Hy Lạp cổ đại, một trong những nền văn minh cổ đại có bộ môn Toán khá phát triển, không hề đề cập đến số âm trong các tài liệu họ để lại. Điều này có thể được lý giải bởi tư duy Toán học gắn với hình học của họ, nơi mà các đại lượng âm dường như không tài nào biểu diễn trực quan được.

Mãi đến thế kỷ  3 SCN, số âm mới được ghi nhận xuất hiện ở phương Tây, cụ thể là trong cuốn Arithmetica của Diophantus. Trong tác phẩm đó, tác giả tỏ rõ sự chống đối với khái niệm này, khi xem phương trình 4x + 20 = 0 là hoang đường, đồng thời nhận định:

 “a number to be subtracted, multiplied by a number to be subtracted, gives a number to be added.”

Trái với phương Tây, trường hợp xuất hiện đầu tiên tại phương Đông lại cho thấy sự chấp nhận và các quy ước cách sử dụng khá chi tiết các số âm. Trong Cửu chương Toán thuật, xuất hiện vào khoảng triều Hán (202 TCN-220 SCN), chúng xuất hiện trong chương về giải phương trình. Người Trung Hoa còn sử dụng các que tính đỏ và đen để biểu thị lần lượt số dương và âm trong các phép toán dùng bảng tính của họ. Số âm được ký hiệu bởi một dấu gạch xiên qua một trong các chữ số sẵn có trong các tài liệu viết. Một số sử gia cho rằng những quan niệm về sự sóng đôi và hài hòa trong văn hóa quốc gia này khiến các học giả nơi đây chấp nhận số âm từ sớm. 

Đến tận năm 620 SCN tại Ấn Độ mới xuất hiện số âm trong các công trình của Brahmagupta (598-670). Ông dùng các khái niệm ‘fortune’ và ‘debts’  (lãi và nợ) để chỉ dương và âm. Chú ý rằng thời kỳ này Ấn Độ đã sử dụng hệ số thập phân tương tự như ngày nay, bao gồm cả số 0 (một khái niệm gặp ít nhiều tranh cãi khác). Brahmagupta đã sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho số âm và đề ra các quy tắc tính toán với các đại lượng đó một cách chính xác, thậm chí còn đi xa hơn nữa khi thống nhất cách giải phương trình bậc 2 của Diophantus từ 3 xuống còn 1 trường hợp như ta quen thuộc ngày nay. 

Trái ngược với các nhà toán học tại hai khu vực trên, người Ả Rập vẫn bác bỏ số âm, dù rằng những học giả ở đây khá quen thuộc với Toán học của Ấn Độ. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, nhà toán học lớn của Ả Rập thế kỷ 9, không hề sử dụng số âm, hay hệ số âm trong cuốn sách Al-jabr wa’l- muqabala (nguồn gốc từ algebra – đại số) của mình, và vì thế ông phải xét tận 6 trường hợp phương trình bậc 2 trong lời giải. Tại châu Âu từ thời kỳ Phục Hưng về sau, số âm xuất hiện ngày càng nhiều, nhưng chưa hề được công nhận hoàn toàn. Khởi đầu bằng tài liệu của Chuquet, chúng ta thấy có sự xuất hiện của số âm trong phép toán lũy thừa, tuy nhiên tác giả vẫn khẳng định chúng là “số viển vông”. Stifel cũng có quan điểm và các ký hiệu tương tự, và trong các tác phẩm của ông, các phương trình bậc hai được đưa về một dạng duy nhất là: x^2 = bx + cvới b, c cùng dương hoặc trái dấu. Vào thời điểm ấy, đây được coi là một bước tiến lớn đối với ngành toán học. Ở một diễn biến khác, trong cuốn sách Ars Magna (cuốn sách đã tiết lộ phương pháp giải phương trình bậc 3 tổng quát, và có hoàn cảnh ra đời éo le không kém những gì chúng ta đang tìm hiểu), tác giả vẫn bác bỏ tính “thực” của số âm. Cardano có đưa ra ký hiệu cho số âm với “m:” đằng trước, cùng một số luật cơ bản khi biến đổi với chúng, nhưng đồng thời khẳng định số dương là numeri ueri (thực) còn số âm là numeri ficti (hư cấu). Ông đồng thời từ chối dùng các hệ số âm, bởi ông lý luận chúng như việc chia hình vuông thành các hình chữ nhật cạnh nhỏ hơn, mà hình chữ nhật thì không thể có cạnh âm. Có vẻ như nhà toán học của chúng ta đã gặp kha khá khó khăn khi phải cố gắng hiểu đối tượng toán học này.  Một số học giả ưu tú khác của thời kỳ này cũng có những ý kiến về số âm như sau: Descarte, người đóng góp cực kỳ lớn cho Hình học giải tích, phần nào chấp nhận số âm: dù vẫn thấy chúng phi lý vì chúng “ít hơn không có gì”, nhưng ông vẫn cho thấy các phương trình nghiệm âm có thể biến đổi thành phương trình có nghiệm dương, và do đó chấp nhận một phần. Pascal coi rằng bớt 4 từ 0 là nhảm nhí hết sức. Viète (Vi-ét) không thừa nhận sự tồn tại của số âm. Nhà Thần học, nhà Toán học Antoine Arnauld lý luận rằng: “làm sao số bé chia cho số lớn lại bằng số lớn chia cho số bé được?”, về đẳng thức -1/1=1/-1

Đối lập với sự kháng cự ở trên, Maclaurin lại mang một tư tưởng khá giống với cách hình dung số âm ngày nay của chúng ta. Ông coi rằng Đại số là “một phương pháp tính toán tổng quát với một số ký hiệu và biểu tượng được tạo ra và tỏ ra hữu ích cho mục đích đó. Nó được gọi là Số học Phổ quát (Universal Arithmetic) và được thực hiện với các quy tắc tương đồng với số học thông thường, được hình thành dựa trên cùng các nguyên lý”. Nói cách khác thì với ông, Đại số không phải cái gì đó trừu tượng mà chỉ là tổng quát hóa thứ số học có sẵn. 

Để cung cấp kiến thức nền cho Đại số, Maclaurin đã viết tác phẩm “Luận án về Đại số trong 3 phần”, với các giải thích về cả thuật toán và một phần logic đằng sau chúng. Trong trường hợp số âm, ông cho rằng một đại lượng “tăng” hoặc “giảm” đều có thể đưa vào tính toán đại số. Ví dụ cho hai đại lượng này có thể kể đến: lãi và lỗ, thừa và thiếu, một tia vẽ về bên phải và vẽ về bên trái, hay vị trí cao hơn hoặc thấp hơn so với đường chân trời. Ông lưu ý rằng khi bớt một đại lượng lớn hơn từ một số nhỏ hơn là hợp lệ, và kết quả cho ra thì khác loại (“tăng” hoặc “giảm”) so với trường hợp còn lại, nhưng chỉ khi phép trừ đó có nghĩa. Chẳng hạn, phép trừ như vậy là bất khả thi với vật chất thông thường. Dù vậy, Maclaurin không nghĩ số âm ít “thực” hơn số dương. Từ đó ông lý luận ra các phép toán với số âm như sau:

Bởi +a -a = 0 nên n*(+a – a) cũng vậy, mà phần từ +na là dương, bởi vậy tích của +n và -a phải âm. Tương tự thế -n(+a – a) = 0 và phần tử đầu tiên là âm, (-n)(-a) bắt buộc dương và bằng đúng +na. 

Ở đây ta thấy ông sử dụng -a như là nghịch đảo của a, và dùng tính chất phân phối: a(b+c) = ab+ac trên số tự nhiên để mở rộng các phép toán lên số nguyên.

Khác với Maclaurin, Peacock lại nhân nhiệm vụ giải cứu cho cả số âm (và số ảo) bằng cách phân biệt hai loại Đại số: Đại số số học và Đại số biểu tượng. Loại đầu thì là đại số như thông thường, tức là nguyên lý phát triển các quy tắc cơ bản của các phép toán với số thực không âm qua các chữ cái, và do đó bị giới hạn bởi một số điều kiện để nó có nghĩa. Chẳng hạn muốn viết a – (b-c) = a + c – b thì phải có thêm điều kiện c<b và b-c<a để thực hiện được phép trừ. Ngược lại, Đại số biểu tượng không nhất thiết cần có cách giải thích cụ thể cho từng biểu tượng . Các phép biến đổi với các chữ này vẫn tuân thủ các quy tắc sẵn có trong đại số thường, nhưng không bị giới hạn về ứng dụng. Với câu hỏi “số âm là gì”, thì nó chỉ đơn giản chỉ là một biểu tượng dạng -a. Khi đó thì (a-b)(c-d) = ac – ad – bc + bd không bị giới hạn bởi điều kiện a > b và  c>d trong đại số biểu tượng

Tiếp đó, cho a = c = 0 thì có (-b)(-d) = bd và a=d = 0 thì (-b)c = -bc

Trên đây là các ví dụ cho một nguyên lý của ông, nói rằng: mọi quy tắc số học có dạng phương trình nào đó sẽ xác định một quy tắc trong đại số biểu tượng bằng cách bỏ bất kỳ giới hạn nào về cách hiểu các ký hiệu liên quan.

Vào năm 1837, một nhà toán học và nhà vật lý học người Ireland mang tên William Rowan Hamilton đã đưa ra một nền tảng lý thuyết vững chắc cho số âm. Thời ấy, kiến thức nền của số âm vẫn còn lỏng lẻo, như Hamilton từng viết: “Không cần phải có một bộ óc quá đa nghi để nghi ngờ, hay thậm chí để không tin tưởng, những lý luận của số âm…” 

Để có thể gây dựng một nền tảng vững chắc cho đại số thì cần phải có những nguyên lý trực giác nhất định, và Hamilton đã sử dụng khái niệm “thời gian thuần túy” (khái niệm này xuất phát từ tác phẩm Phê bình lý tính thuần túy của Kant: “cảm quan cá nhân mà theo đó chúng ta sắp xếp mọi nhận thức hay trực giác lý tính là tồn tại cùng lúc hay liên tiếp”). 

Hamilton cho rằng tồn tại một tập hợp M gồm các “khoảnh khắc” được sắp xếp bởi mối quan hệ “<” sao cho với mọi A và B thuộc M, thì A > B, A = B hoặc A < B. Sau đó Hamilton định nghĩa mối quan hệ tương đương giữa các cặp khoảnh khắc (A, B) nếu chúng thỏa mãn điều kiện sau: “Nếu B trùng A, thì D trùng C, nếu B muộn hơn A, thì D muộn hơn C, và muộn hơn đúng chừng đó, nếu B sớm hơn A, thì D sớm hơn C, và sớm hơn đúng chừng đó”.

Như bạn đọc có thể dễ dàng nhận thấy, quá trình phát triển trải dài suốt 2000 năm của số âm trắc trở và chông gai đến vậy là vì bản thân các nhà toán học cũng gặp khó khăn khi cố gắng nhận thức sự tồn tại của số âm. Nên là nếu những nhà toán học đại tài nhất còn nhăn mặt khi phải hình dung ra một đối tượng khá “hiển nhiên” ngày nay, thì cũng chẳng phải là vấn đề gì to tát khi bạn cũng nhăn mặt với những bài toán khó. Vấn đề là liệu khi đó, bạn đọc có bỏ cuộc hay không…