Lịch sử phương trình bậc 3

Tác giả: Lê Vũ Minh Trí, Nguyễn Duy Anh

Hiện nay, việc giải phương trình bậc ba là khá dễ dàng: chỉ với một vài thao tác đơn giản trên chiếc casio fx 570 và câu trả lời sẽ đến trong chớp mắt. Thế nhưng, để giải được phương trình bậc ba tổng quát là kết quả của công sức của nhiều, nhiều người. Câu chuyện đằng sau lại là một câu chuyện hết sức thú vị, với những cuộc đấu tay đôi, sự phản bội, và quan trọng nhất, là một bước tiến lớn tới toán học hiện đại.

Năm 1494, Luca Pacioli, thầy giáo môn Toán của Leonardo da Vinci, xuất bản cuốn sách Summa de Arithmetica. Cuốn sách là tổng hợp của tất cả những gì được biết về toán học vào thời kì Phục Hưng ở Ý tại thời điểm đó. Trong đó có một mục về phương trình bậc ba, một phương trình được diễn giải bằng lời, mà ngày nay sẽ được viết là: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.  Loài người đã cố gắng tìm phương pháp tổng quát để giải phương trình này trong ít nhất là 4000 năm, nhưng mọi nền văn minh cổ đại từng thử sức với nó đều bất thành. Kết luận của Pacioli là một phương pháp tổng quát như vậy không tồn tại. 

Như đã nhắc đến ở bài số âm, vào thời kì này, toán học vẫn còn gắn liền với thực tại: tư duy của các nhà toán học vẫn còn gắn liền với hình học. Khi đó cách họ giải các phương trình bậc hai vẫn là ghép các hình vuông và hình chữ nhật với nhau, và một cách rất tự nhiên, đó cũng là cách họ cố gắng giải phương trình bậc ba. Mặt khác, bởi hệ thống ký hiệu chưa thực sự hoàn thiện, có những trường hợp các bài toán được diễn giải bằng lời (Ví dụ phương trình x^3 + cx = d sẽ được diễn giải là “Một (hình) lập phương cộng với nhiều thứ gì đó bằng một số”) (nhiều thứ ở đây chỉ c.x)

Vào đầu thế kỉ 16, xuất hiện những bước tiến quan trọng đầu tiên. Scipione del Ferro, một giáo sư ở đại học Bologne đã tìm ra cách giải được phương trình bậc ba dạng x^3 + cx = d, với c và d dương (sở dĩ viết ở dạng này bởi vì số âm chưa được hiểu rõ). Có lẽ del Ferro còn khám phá ra nhiều điều khác nữa, nhưng không may thay, ta khó lòng biết hết được, vì một nguyên nhân khá là kì lạ. Vào thời điểm đó, vị trí của một nhà toán học luôn có nguy cơ bị tước đoạt, thông qua các “cuộc đấu tay đôi toán học (mathematical duel)”. Trong một cuộc đấu tay đôi toán học, hai nhà toán học sẽ gửi các bài toán cho nhau, ai giải được nhiều bài hơn sẽ chiến thắng. Người chiến thắng thường thăng tiến trong sự nghiệp và thu hút nhiều đồ đệ (học trò có ổn hơn ko, nghe đồ đệ chiến thật nhưng ai gọi vậy ko) hơn, còn kẻ thua cuộc sẽ mất gần như tất cả. Vì thế, những khám phá quan trọng như thế này thường được giữ bí mật, như một con bài tẩy để phòng hờ bất trắc.

Lí do mà bây giờ ta biết được del Ferro biết cách giải các phương trình bậc ba có dạng x^3 + cx = d là vì ông ta đã truyền lại phương pháp đó cho một học trò của ông ta, Antonio Fior. Fior không phải là người sáng dạ nhất, nhưng chắc chắn là một con người nhiều tham vọng. Fior khoe khoang về “thành tựu” này của bản thân. Một ngày nọ, Fior quyết định thách đấu một nhà toán học để chứng tỏ “tài năng” của mình. Nhà toán học ấy là Niccolo Fontana, hay còn được biết đến nhiều hơn với cái tên Tartaglia. 

Tương truyền rằng, vào cái ngày người Pháp đánh vào Brescia, quê nhà của cậu bé Tartaglia khi ấy mới lên 12, họ đã xâm phạm tới sự linh thiêng của nhà thờ và lao vào tấn công. Cậu đã lĩnh một phát gươm vào miệng, một chấn thương đã để lại tật nói lắp sau khi được chữa trị, đây cũng là nguyên do cho cái tên mang nghĩa “kẻ lắp bắp” trong tiếng Ý người ta đặt cho. Với trí thông minh hơn người, ông đã tự học và đạt đến trình độ Toán học đủ tốt để có thể tự nuôi sống bằng nghề dạy học. Mỉa mai thay, một trong những đóng góp tiên phong nhất lại ở chính lĩnh vực đã để lại tật cho ông: trong cuốn Nova Scientia (1537), ông đã bàn về Đạn đạo học một cách có hệ thống, và dù những gì ông viết thường không thực sự chuẩn, đó vẫn là một bước tiến lớn so với sự phụ thuộc vào “kinh nghiệm của xạ thủ”. Ngoài ra ông còn dạy rằng các vật với khối lượng khác nhau sẽ rơi đoạn dài như nhau trong cùng thời gian, trước cả Galileo. 

Tartaglia thách đấu Fior với 30 bài toán thuộc nhiều chủ đề khác nhau, còn Fior sử dụng chiến thuật “bỏ hết trứng vào một rổ” và thách đấu Tartaglia với 30 phương trình dạng x^3 + cx = d với c, d dương. Đen đủi cho cho Fior, sự kiêu căng ngạo mạn của anh ta đã phản tác dụng, và những lời khoe khoang của anh ta đã đến tai của Tartaglia từ trước. Tartaglia, không tin rằng một kẻ như Fior lại có thể “giải được” một vấn đề khó nhằn đến thế, đã tự mình đi tìm cách giải, và thành công. Do đó Tartaglia dễ dàng giải 30 phương trình của Fior trong 2 tiếng, còn Fior vò đầu bứt tai cũng chẳng thể giải được bất kì bài toán nào mà đối thủ đưa ra.

Chiến thắng này khiến Tartaglia nổi tiếng, và người người cầu xin ông truyền dạy bí kíp giải phương trình bậc ba dạng này. Dĩ nhiên Tartaglia từ chối hết. Ấy là cho đến khi một tay tên Gerolamo Cardano nhập cuộc.

So với tiêu chuẩn của một nhà trí thức, thậm chí là so với chính tiêu chuẩn thời ấy, cuộc đời Cardano cực kỳ tệ hại. Có hai đứa con trai đều phạm pháp, từng bị cầm tù do xuất bản cung hoàng đạo của Chúa Jesus, thường xuyên tận hưởng những thú vui suy đồi. Dẫu sao, ông vẫn là người thời Phục Hưng, và nhạc nào ông cũng nhảy: ông là bác sĩ ngoại khoa kiêm triết gia, nhà toán học, nhà chiêm tinh học, một tay Thần bí học nghiệp dư, và tác giả năng suất. Tạm bỏ qua những vụ bê bối liên quan đến tôn giáo và giới hoàng gia, ông từng giữ chức vụ Giáo sư Toán tại Milan, Pavia, và Bologna. Khi tin tức về cuộc đối đầu giữa Tartaglia và Fior đến tai Cardano, người đàn ông này bước vào câu chuyện của chúng ta.

Cardano đã nỗ lực cố gắng, song vẫn bất thành trong việc thành công giải phương trình bậc ba dạng x^3 + cx + d = 0. Vì thế ông ta bắt đầu gây áp lực lên Tartaglia. Sau nhiều lá thư lúc nịnh hót, lúc lại hăm dọa, cuối cùng Tartaglia cũng chịu tiết lộ phương pháp giải cho Cardano. Nhưng Tartaglia bắt Cardano phải tuyên thệ rằng sẽ không xuất bản công thức này, cũng như chỉ được viết nó bằng mật mã, “để sau khi ta chết, không ai sẽ có thể hiểu được nó”. Vậy là cuối cùng, Cardano cũng đã có được cách giải một loại phương trình bậc ba từ tay Tartaglia.

Thế nhưng tham vọng của Cardano còn hơn thế. Ông ta muốn tìm cách giải một phương trình bậc ba tổng quát. Và sau một khoảng thời gian thử nghiệm, ông ta cũng tìm được nó. Cardano nhận thấy rằng từ phương trình tổng quát ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, nếu ta chia cả hai vế cho a (a khác 0, nếu không đó là phương trình bậc 2), rồi thay y = x + (b/3a), ta sẽ nhận được một phương trình mới theo t có dạng y^3 + py + q = 0. Từ đây, Cardano là người đầu tiên trên thế giới nắm trong tay cách giải phương trình bậc ba tổng quát. 

Ba năm sau, Cardano xuất bản cuốn Ars Magna (Nghệ thuật vĩ đại), công bố cách giải phương trình bậc ba tổng quát với thế giới. Dù ông có công nhận đóng góp của Scipione del Ferro và Tartaglia dưới phần chú thích, điều đó vẫn không khiến cho Tartaglia nguôi giận. Tartaglia gọi viết những lá thư miệt thị gửi tới Cardano: “Thảm hại. Một kẻ rỗng tuếch. Một người đàn ông thật sự ngu ngốc. Một tên không biết gì về toán học.” Ferrari, một học trò trung thành của Cardano, người đã công bố cách giải tổng quát phương trình bậc bốn cũng trong cuốn Ars Magna, đã phản pháo lại Tartaglia, và hai người đôi co với nhau trong nhiều tháng, trao đổi đến 12 bức thư đầy những lời xúc phạm và miệt thị, dẫn đến một cuộc đấu tay đôi toán học giữa Tartaglia và Ferrari, và cuối cùng là một cuộc hùng biện công cộng giữa hai người tại quê nhà Ferrari là Milan. Với lợi thế sân nhà của Ferrari, ta có thể đoán được kết cục của Tartaglia tội nghiệp. Ngày hôm thứ hai, ngày mà đáng lẽ ra cuộc tranh luận phải tiếp tục, Tartaglia đã rời Milan từ bao giờ. 

Ferrari nhận được cơn mưa đề nghị công việc, trong khi danh tiếng của Tartaglia bị hủy hoại. Dù đã có nhiều đóng góp đáng kể cho toán học ngoài phương trình bậc ba, Tartaglia chết trong nghèo khó, y như thời thơ ấu của ông, ở xứ nào không ai hay, trong khi Cardano thì được ca ngợi suốt nhiều thế hệ. Cho đến ngày nay, công thức giải phương trình bậc ba tổng quát vấn được gọi là “công thức Cardano”, hay “phương pháp Cardano”, dù toàn bộ câu chuyện đằng sau đã sáng tỏ.

Nhưng tại sao chứ, Tartaglia mới là người giải được một số lượng không nhỏ trường hợp đặc biệt của bài toán này mà? Hơn nữa, Cardano đã thề độc rồi?

Rõ ràng Cardano chẳng phải kẻ không có đầu óc, hay chú trọng danh dự. Cardano chẳng cần phải lo lắng đến việc vị trí và thanh danh của mình bị thách thức như những nhà toán học đương thời, cho nên việc đầu tiên Cardano muốn làm sau phát hiện này là xuất bản những phát hiện của mình. Với Cardano, uy tín quan trọng hơn bí mật. Vấn đề duy nhất chắn trước mặt Cardano là lời thề mà ông ta đã thề với Tartaglia. May cho Cardano, vào năm 1542, ông đến Bologna và gặp được con trai nuôi của Scipione del Ferro, cái tên ta đã nhắc đến từ đầu. Cardano tìm thấy lời giải giống với của Tartaglia trong một cuốn sổ tay cũ của del Ferro. Lời giải ấy tồn tại trước phương pháp của Tartaglia hàng thập kỉ. Vậy là giờ đây, Cardano đã có thể xuất bản phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát mà không vi phạm lời thề với Tartaglia. Phần còn lại, như ta đã biết, là lịch sử.